UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

Concept:किसी संख्या के अंत में $k$ क्रमागत शून्य तभी होते हैं जब वह संख्या $10^k = 2^k \times 5^k$ से पूर्णतः विभाज्य हो।Explanation:सबसे पहले $P$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।$15 = 3 \times 5$, $25 = 5^2$, $35 = 5 \times 7$ हैं।इसलिए,$P = 5^5 \times (3 \times 5)^{15} \times (5^2)^{25} \times (5 \times 7)^{35}$$= 5^5 \times 3^{15} \times 5^{15} \times 5^{50} \times 5^{35} \times 7^{35}$$= 5^{105} \times 3^{15} \times 7^{35}$।इस प्रकार $P$ में 2 का कोई गुणनखंड नहीं है, अतः $P$ विषम है और इसका इकाई अंक 5 है।अब $Q$ का गुणनखंडन करते हैं।$10 = 2 \times 5$, $20 = 2^2 \times 5$, $30 = 2 \times 3 \times 5$, $40 = 2^3 \times 5$।इसलिए,$Q = 2^{10+40+30+120} \times 5^{10+20+30+40} \times 3^{30}$$= 2^{200} \times 5^{100} \times 3^{30}$।अतः $Q$, $10^{100}$ से विभाज्य है और $Q$ के अंत में 100 शून्य हैं।अब $(P+Q)$ पर विचार करें।चूँकि $Q$, 10 से विभाज्य है, इसलिए $(P+Q)$ का इकाई अंक वही होगा जो $P$ का है।$P$ का इकाई अंक 5 है।अतः $(P+Q)$ का इकाई अंक 5 होगा, जो 2 से विभाज्य नहीं है।किसी संख्या के अंत में शून्य होने के लिए वह 10 से अवश्य विभाज्य होनी चाहिए।$(P+Q)$, 10 से विभाज्य नहीं है।इसलिए $(P+Q)$ के अंत में कोई भी क्रमागत शून्य नहीं होगा।Answer:$(P+Q)$ के अंत में क्रमागत शून्यों की संख्या $0$ है।सही विकल्प: B. शून्य (Zero)