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UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

Question : 4 of 100

Marks: +1, -0

यदि

\frac{1}{x}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}

\frac{pq}{p^2-q^2}\left(\frac{x+p}{x-p}-\frac{x+q}{x-q}\right)

किसके बराबर है ?

Solution:

Concept:

\frac{1}{x}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}

से

x

का मान निकालकर दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करना और बीजीय सरलीकरण करना है।

Explanation:

दिया है:

\frac{1}{x}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{p+q}{pq}

अतः

x=\frac{pq}{p+q}

।

अब कोष्ठक के पहले भाग को सरल करें:

\frac{x+p}{x-p}=\frac{\frac{pq}{p+q}+p}{\frac{pq}{p+q}-p}

=\frac{\frac{pq+p(p+q)}{p+q}}{\frac{pq-p(p+q)}{p+q}}

=\frac{p^2+2pq}{-p^2}=-\frac{p+2q}{p}

इसी प्रकार दूसरा भाग:

\frac{x+q}{x-q}=\frac{\frac{pq}{p+q}+q}{\frac{pq}{p+q}-q}

=\frac{2pq+q^2}{-q^2}=-\frac{2p+q}{q}

अब दोनों भागों का अंतर ज्ञात करें:

\frac{x+p}{x-p}-\frac{x+q}{x-q}

=-\frac{p+2q}{p}+\frac{2p+q}{q}

=\frac{-q(p+2q)+p(2p+q)}{pq}

=\frac{-pq-2q^2+2p^2+pq}{pq}

=\frac{2(p^2-q^2)}{pq}

इसे दिए गए गुणक

\frac{pq}{p^2-q^2}

से गुणा करें:

\frac{pq}{p^2-q^2}\left(\frac{x+p}{x-p}-\frac{x+q}{x-q}\right)

=\frac{pq}{p^2-q^2}\cdot \frac{2(p^2-q^2)}{pq}=2

Answer:

अभिव्यक्ति का मान

2

है, अतः सही विकल्प A है।

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