UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

Concept:एक द्विघात समीकरण $Ax^2+Bx+C=0$ सर्वसमिका तभी होगी जब उसके सभी गुणांक शून्य हों, अर्थात $A=0$, $B=0$ और $C=0$।Explanation:सर्वसमिका का अर्थ है कि समीकरण $x$ के हर मान के लिए सत्य है, इसलिए $x^2$, $x$ और अचर पद के गुणांक अलग-अलग शून्य होने चाहिए।दिए गए समीकरण के गुणांक हैं:$A = k^2-5k+4$$B = k^2-3k-4$$C = k^2-4k$अब प्रत्येक को शून्य के बराबर रखकर हल करते हैं:पहला गुणांक:$k^2-5k+4=0$$(k-1)(k-4)=0$इससे $k=1$ या $k=4$ प्राप्त होता है।दूसरा गुणांक:$k^2-3k-4=0$$(k-4)(k+1)=0$इससे $k=4$ या $k=-1$ प्राप्त होता है।तीसरा गुणांक:$k^2-4k=0$$k(k-4)=0$इससे $k=0$ या $k=4$ प्राप्त होता है।तीनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने वाला उभयनिष्ठ मान $k=4$ है।Answer:$k=4$अतः सही विकल्प D है।