UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

Concept:दिए गए गुणनफल को घातांक नियमों से सरल करके देखना कि केवल $p+q+r=0$ से यह एक निश्चित मान देता है या नहीं।Explanation:मान लीजिए $E=\frac{p^2}{z^{qr}}\times\frac{q^2}{z^{rp}}\times\frac{r^2}{z^{pq}}$ है।अंशों और हरों को मिलाने पर:$E=\frac{p^2q^2r^2}{z^{qr+rp+pq}}=\frac{(pqr)^2}{z^{pq+qr+rp}}$।अब $(p+q+r)^2=p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+rp)$ होता है।चूँकि $p+q+r=0$ है, इसलिए $pq+qr+rp=-\frac12(p^2+q^2+r^2)$।इसे प्रतिस्थापित करने पर:$E=(pqr)^2\,z^{\frac12(p^2+q^2+r^2)}$।यह मान $p,q,r$ के वास्तविक मानों पर निर्भर करता है।उदाहरण के लिए $p=1,q=1,r=-2$ पर $E=4z^3$ है, जबकि $p=1,q=2,r=-3$ पर $E=36z^7$ है; दोनों में $p+q+r=0$ है।अतः केवल $p+q+r=0$ से इस व्यंजक को निश्चित रूप से $1,z,z^2$ या $z^3$ के बराबर नहीं कहा जा सकता।Answer:दिए गए विकल्पों में से कोई भी सार्वत्रिक रूप से सही नहीं है; व्यंजक $p,q,r$ और $z$ के मानों पर निर्भर करता है।