UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

Concept:जब दो रेखाएँ समांतर हों परंतु संपाती न हों, तो समीकरण-निकाय का कोई हल नहीं होता।इसके लिए $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ होना आवश्यक है।Explanation:दिए गए समीकरण $kx-5y+6=0$ तथा $-12x+4(k-1)y+3=0$ की तुलना $a_1x+b_1y+c_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2=0$ से करने पर:$a_1=k$, $b_1=-5$, $c_1=6$ तथा $a_2=-12$, $b_2=4(k-1)$, $c_2=3$ प्राप्त होते हैं।कोई हल न होने की शर्त लगाने पर:$$\frac{k}{-12}=\frac{-5}{4(k-1)} \neq \frac{6}{3}$$पहली दो राशियों की समानता से:$$4k(k-1)=60$$$$\Rightarrow k^2-k-15=0$$इस द्विघात समीकरण के मूल हैं:$$k=\frac{1 \pm \sqrt{61}}{2}$$ये दोनों मान पूर्णांक नहीं हैं।इसके अतिरिक्त दिए गए विकल्पों $k=1,3,4$ की जाँच करने पर भी कोई मान उपरोक्त शर्त को संतुष्ट नहीं करता।अतः $k$ का कोई पूर्णांकीय मान अस्तित्व में नहीं है।Answer:विकल्प A: ऐसा कोई मान अस्तित्व में नहीं है।