UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

Concept:किसी बहुपद में $x=a$ रखने पर मान शून्य आए, तो वह बहुपद $(x-a)$ से विभाज्य होता है।Explanation:दोनों बहुपदों का सार्वनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करना है।इसके लिए प्रत्येक व्यंजक $(x-1)$, $(x+1)$ और $(x+2)$ को अलग-अललग जाँचते हैं।I. $x-1$ के लिए $x=1$ रखने पर:पहला बहुपद: $1^3+2(1)^2-5(1)+2=1+2-5+2=0$दूसरा बहुपद: $1^3+4(1)^2+1-6=1+4+1-6=0$अतः $x-1$ दोनों बहुपदों को विभाजित करता है।II. $x+1$ के लिए $x=-1$ रखने पर, पहले बहुपद में:$(-1)^3+2(-1)^2-5(-1)+2=-1+2+5+2=8\neq 0$अतः $x+1$ पहले बहुपद को विभाजित नहीं करता।III. $x+2$ के लिए $x=-2$ रखने पर, पहले बहुपद में:$(-2)^3+2(-2)^2-5(-2)+2=-8+8+10+2=12\neq 0$अतः $x+2$ भी पहले बहुपद को विभाजित नहीं करता।इस प्रकार, केवल $x-1$ ही दोनों बहुपदों का सार्वनिष्ठ गुणनखंड है।Answer:केवल Iसही विकल्प: C. केवल I और III? Wait no, C is केवल I. Note options: A केवल I और II, B केवल II और III, C केवल I, D केवल I और III. So C. State correct. Since "C. केवल I". Existing solution "केवल एक ... मैं केवल" but answer option C. We output "सही विकल्प: C. केवल I".