Let $I=\int\frac{x+2}{\sqrt{4x-x^2}}dx$ $=\int\frac{x+2}{\sqrt{4-(x^2-4x+4)}}dx$ $=\int\frac{(x-2)+4}{\sqrt{4-(x-2)^2}}dx$ $=\int\frac{x-2}{\sqrt{4-(x-2)^2}}dx+4\int\frac{dx}{\sqrt{4-(x-2)^2}}$ Let $I=I_1+4\sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)+C_1$ ... (i) where $I_1=\int\frac{x-2}{\sqrt{4-(x-2)^2}}dx$ Put $(x-2)^2=t$ $\Rightarrow 2(x-2)dx=dt$ $I_1=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{(2)^2-t}}$ $=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{4-t}}$ $=\frac{1}{2}\left[\frac{(4-t)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\left(-\frac{1}{2}+1\right)}\right]+C_2$ $=-\sqrt{4-t}+C_2$ $=-\sqrt{4-(x-2)^2}+C_2$ $=-\sqrt{4-x^2-4+4x}+C_2$ $=-\sqrt{4x-x^2}+C_2$ ..(ii)$I=-\sqrt{4x-x^2}+4\sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)+C$ [from (i) and (ii)]