UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

Concept:किसी भी समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने पर बना चतुर्भुज सदैव एक आयत होता है, और प्रत्येक आयत चक्रीय होता है।Explanation:मान लीजिए कि $P, Q, R, S$ क्रमशः $AB, BC, CD, DA$ के मध्यबिंदु हैं।त्रिभुज $ABC$ में $P$ और $Q$ मध्यबिंदु हैं, इसलिए मध्यबिंदु प्रमेय से $PQ \parallel AC$ तथा $PQ = \frac{1}{2}AC$।इसी प्रकार त्रिभुज $ADC$ में, $S$ और $R$ मध्यबिंदु हैं, अतः $SR \parallel AC$ तथा $SR = \frac{1}{2}AC$।अतः $PQ \parallel SR$ तथा $PQ = SR$ है।इसी तरह, $PS \parallel QR \parallel BD$ तथा $PS = QR = \frac{1}{2}BD$ प्राप्त होता है।इससे सिद्ध होता है कि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।समचतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं, अतः $AC \perp BD$।चूँकि $PQ \parallel AC$ और $PS \parallel BD$, इसलिए $PQ \perp PS$ अर्थात $\angle QPS = 90°$।एक समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण $90°$ हो, वह आयत होता है, इसलिए $PQRS$ एक आयत है।आयत के सम्मुख कोणों का योग $90° + 90° = 180°$ होता है, इसलिए $PQRS$ सदैव चक्रीय है।यह निष्कर्ष केवल $ABCD$ के समचतुर्भुज होने पर आधारित है, न कि उसके कोणों के विशिष्ट मानों पर।इसलिए प्रश्न का उत्तर कथन I और कथन II के बिना भी दिया जा सकता है।Answer:विकल्प D सही है।