UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

Concept:यदि $AB \parallel DC$, $AD = BC$ तथा $AD \nparallel BC$ हो, तो ABCD एक समद्विबाहु समलंब बनता है, जिसमें $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ होता है।Explanation:कथन I अकेले पर्याप्त नहीं है, क्योंकि $AB \parallel DC$ और $AD = BC$ के साथ $AD \parallel BC$ होना भी संभव है।ऐसी स्थिति में ABCD एक समांतर चतुर्भुज होगा, जिसमें $\angle ABC + \angle ADC$ का कोई निश्चित मान नहीं होता।उदाहरण के लिए, आयत में यह योग $180^\circ$ है, जबकि एक झुके हुए समांतर चतुर्भुज में यह $270^\circ$ जैसा मान भी हो सकता है।अतः केवल कथन I से उत्तर निर्धारित नहीं होता।कथन II अकेले पर्याप्त नहीं है, क्योंकि केवल $AD \nparallel BC$ दिए रहने पर चतुर्भुज का कोई विशेष रूप सुनिश्चित नहीं होता।AD = BC होने पर भी $\angle ABC + \angle ADC$ भिन्न-भिन्न मान ले सकता है।इसलिए केवल कथन II से भी उत्तर नहीं दिया जा सकता।दोनों कथनों को एक साथ लेने पर $AB \parallel DC$, $AD = BC$ तथा $AD \nparallel BC$ प्राप्त होता है, अतः ABCD एक समद्विबाहु समलंब है।समद्विबाहु समलंब में एक ही आधार पर बने कोण बराबर होते हैं, इसलिए $\angle ABC = \angle DAB$।चूँकि $AB \parallel DC$ है, समांतर रेखाओं पर तिर्यक AD द्वारा बने अंतः कोण संपूरक होते हैं, अतः $\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$।इससे $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ प्राप्त होता है।अतः इस प्रश्न का उत्तर दोनों कथनों को एक साथ उपयोग करके दिया जा सकता है, परंतु अकेले किसी एक कथन से नहीं।Answer:विकल्प A