UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

Concept:वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।समांतर जीवाओं पर केंद्र से डाले गए लंब एक ही सरल रेखा पर होते हैं।Explanation:माना $OP = x$ cm है।चूँकि जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं, इसलिए $OQ = 17 - x$ cm होगा।$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्यबिंदु हैं।इसलिए $AP = \frac{10}{2} = 5$ cm और $CQ = \frac{24}{2} = 12$ cm हैं।माना वृत्त की त्रिज्या $R$ है।समकोण त्रिभुज $OAP$ से,$$R^2 = OP^2 + AP^2 = x^2 + 5^2$$समकोण त्रिभुज $OCQ$ से,$$R^2 = OQ^2 + CQ^2 = (17-x)^2 + 12^2$$दोनों को बराबर रखने पर,$$x^2 + 25 = (17-x)^2 + 144$$$$x^2 + 25 = x^2 - 34x + 289 + 144$$$$34x = 408$$$$x = 12$$अतः $OP = 12$ cm और $OQ = 5$ cm हैं।इससे त्रिज्या $R = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ cm प्राप्त होती है।अब,क्षेत्रफल $(\triangle OAP) = \frac{1}{2} \times OP \times AP = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$ cm$^2$क्षेत्रफल $(\triangle OCQ) = \frac{1}{2} \times OQ \times CQ = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$ cm$^2$अतः कथन I सत्य है।कथन II के लिए, $OA = OC = R = 13$ cm है।दोनों भुजाएँ $13$ cm होने पर $\triangle OAC$ का अधिकतम क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 13 \times 13 = 84.5$ cm$^2$ ही संभव है।इसलिए $\triangle OAC$ का क्षेत्रफल $102$ cm$^2$ नहीं हो सकता।अतः कथन II असत्य है।Answer:केवल कथन I सही है।सही विकल्प: B. केवल I