UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

Concept:चक्रीय चतुर्भुज में समान वृत्तखंड के कोण एवं वैकल्पिक खंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) का उपयोग।Explanation:दिया है कि विकर्ण $AC$, $\angle C$ को समद्विभाजित करता है।अतः $\angle ACB = \angle ACD$।ये कोण क्रमशः जीवाओं $AB$ और $AD$ द्वारा वृत्त के बिंदु $C$ पर बनाए गए हैं।समान वृत्तखंड के कोण बराबर होने से संगत जीवाएँ भी बराबर होती हैं।इसलिए $AB = AD$।त्रिभुज $ABD$ में $AB = AD$ होने से यह समद्विबाहु त्रिभुज है।अतः आधार कोण बराबर होंगे, अर्थात $\angle ABD = \angle ADB$।इससे कथन I सत्य है।अब $A$ पर वृत्त की स्पर्शरेखा $XY$ खींचें।वैकल्पिक खंड प्रमेय के अनुसार, स्पर्शरेखा और जीवा $AB$ के बीच का कोण सम्मुख खंड के कोण के बराबर होता है।अतः $\angle XAB = \angle ADB$।किंतु $\angle ADB = \angle ABD$ है, इसलिए $\angle XAB = \angle ABD$।ये संगत कोण हैं, अतः स्पर्शरेखा $XY \parallel BD$ है।इस प्रकार कथन II भी सत्य है।Answer:अतः कथन I और II दोनों सही हैं।सही विकल्प: C. I और II दोनों।