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UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

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Question : 43 of 100

Marks: +1, -0

यदि

3\sin\theta + 4\cos\theta = 5

4\tan\theta + 3\cot\theta

का मान क्या है ?

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Solution:

Concept:

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करके

\tan\theta

और

\cot\theta

ज्ञात करना, फिर अभिव्यक्ति का मान निकालना।

Explanation:

हमें दिया है:

3\sin\theta + 4\cos\theta = 5

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(3\sin\theta + 4\cos\theta)^2 = 25

9\sin^2\theta + 16\cos^2\theta + 24\sin\theta\cos\theta = 25

पहचान

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

का उपयोग करें:

9(1-\cos^2\theta) + 16(1-\sin^2\theta) + 24\sin\theta\cos\theta = 25

9 + 16 - 9\cos^2\theta - 16\sin^2\theta + 24\sin\theta\cos\theta = 25

-9\cos^2\theta - 16\sin^2\theta + 24\sin\theta\cos\theta = 0

9\cos^2\theta + 16\sin^2\theta - 24\sin\theta\cos\theta = 0

\cos^2\theta

से विभाजित करने पर,

9 + 16\tan^2\theta - 24\tan\theta = 0

16\tan^2\theta - 24\tan\theta + 9 = 0

यह पूर्ण वर्ग है:

(4\tan\theta - 3)^2 = 0

अतः

4\tan\theta - 3 = 0

\tan\theta = \frac{3}{4}

इसलिए

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{4}{3}

अब अभिव्यक्ति में रखने पर:

4\tan\theta + 3\cot\theta = 4\left(\frac{3}{4}\right) + 3\left(\frac{4}{3}\right)

= 3 + 4 = 7

Answer:

4\tan\theta + 3\cot\theta = 7

अतः विकल्प A सही है।

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