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UPSC CDS I 2026 Mathematics Paper

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Question : 41 of 100

Marks: +1, -0

यदि

\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} = 4

है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा

(\tan^2\theta + \cot^2\theta)

का मान है ?

$\frac{5}{3}$
5
4
$\frac{10}{3}$

Solution:

Concept:

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को सरल करके

\cos\theta

का मान ज्ञात करें, फिर

\tan^2\theta+\cot^2\theta

का मान निकालें।

Explanation:

दिया गया समीकरण है:

\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} = 4

\cos\theta

को सामान्य लेने पर:

\cos\theta\left(\frac{1}{1-\sin\theta}+\frac{1}{1+\sin\theta}\right)=4

हरों को जोड़ने के लिए सामान्य हर लें:

\cos\theta\left(\frac{(1+\sin\theta)+(1-\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}\right)=4

अंश का सरलीकरण:

(1+\sin\theta)+(1-\sin\theta)=2

हर का सरलीकरण:

(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)=1-\sin^2\theta=\cos^2\theta

इसलिए समीकरण बनता है:

\cos\theta\left(\frac{2}{\cos^2\theta}\right)=4

अर्थात:

\frac{2}{\cos\theta}=4

अतः:

\cos\theta=\frac{1}{2}

अब:

\cos^2\theta=\frac{1}{4}

और पहचान

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

से:

\sin^2\theta=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

अब:

\tan^2\theta=\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\frac{3/4}{1/4}=3

\cot^2\theta=\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}

इसलिए:

\tan^2\theta+\cot^2\theta=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}

Answer:

(\tan^2\theta+\cot^2\theta)=\frac{10}{3}

अतः सही विकल्प D है।

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