We have, sinx + sin3x + sin5x = 0 ⇒ (sin 5x + sinx) + sin 3x = 0. ⇒ 2 sin $\left( \frac{5x+x}{2} \right)$ cos $\left( \frac{5x-x}{2} \right)$ + sin 3x = 0 ⇒ 2sin 3x cos 2x + sin 3x = 0 ⇒ sin 3x (2 cos 2x + 1) = 0 ⇒ either sin 3x = 0 or, 2 cos 2x + 1 = 0 Now , if sin 3x = 0 ⇒ 3x = nπ, n ∈ Z ⇒ x = $\frac{n\pi}{3}$ , n ∊ Z And if 2 cos 2x + 1 = 0 ⇒ cos2x = $-\frac{1}{2}$ A value of x, satisfying cosx = $\frac{1}{2}$ is $\frac{\pi}{3}$ Thus, cos 2x = cos $\left( \pi - \frac{\pi}{3} \right)$ = - cos $\frac{\pi}{3}$ = $-\frac{1}{2}$ ⇒ cos 2x = cos $\frac{2\pi}{3}$ ⇒ 2x = 2nπ ± $\frac{2\pi}{3}$ , n ∊ Z Since if cos x = cos α then , x - 2nπ ± α , n ∊ Z ⇒ x = nπ ± $\frac{\pi}{3}$ , n ∊ Z Hence x = $\frac{n\pi}{3}$ or nπ ± $\frac{\pi}{3}$ , n ∊ Z